Seminário Interno do Grupo de Pesquisa em Reticulados e Códigos

Nesta palestra, apresentamos uma família infinita de reticulados bem arredondados via o homomorfismo canônico, que dependem de parâmetros específicos relacionados a corpos de números cíclicos de grau primo.

Recentemente, diversas construções de reticulados algébricos têm sido propostas por meio de famílias de módulos em anéis de inteiros de corpos de números via o mergulho canônico, os quais têm sido bastante estudados do ponto de vista da propriedade do bem-arredondamento e do empacotamento esférico. Nesta apresentação, discutiremos como ideais de anéis de grupos podem ser usados na definição de famílias de módulos ainda mais gerais que essas, e os possíveis desdobramentos no estudo de propriedades geométricas dos reticulados associados.

Estudamos o problema do pomar de Pólya em reticulados bidimensionais arbitrários, estendendo resultados anteriores para configurações de pomar mais gerais, sem hipóteses como convexidade, simetria ou compacidade. Este é um trabalho conjunto com Eleonesio Strey e Sueli I. R. Costa.

Inspirados na abordagem de Sok et al. via Construção A, estudamos códigos para canais de deleção e repetição que preservam blocos de símbolos consecutivos iguais. Consideramos reticulados multiníveis associados à Construção D e obtemos condições suficientes para decodificação em multiestágios. Nesta apresentação, vamos apresentar exemplos, uma fórmula exata para a cardinalidade do código de comprimento fixo e um limitante de distância para o subreticulado de soma nula. Serão apresentadas questões abertas sobre distância mínima, enumeração e decodificação.

Referência: SOK, L.; BELFIORE, J.-C.; SOLÉ, P.; TCHAMKERTEN, A. Lattice Codes for Deletion and Repetition Channels. IEEE Transactions on Information Theory, v. 64, n. 3, p. 1595–1603, 2018.

O objetivo desta apresentação é mostrar o que já temos na literatura associado à Construção π_A de reticulados e investigar novos caminhos e perspectivas, conectando-a a outras áreas.

Nesta apresentação, discutiremos a existência de ideais principais well-rounded em corpos quadráticos reais, destacando a relação entre equações de Pell e a geometria dos reticulados associados. Ao final, abordaremos possíveis direções de investigação.

Existem algumas conexões entre códigos lineares e reticulados, como as Construções A, B e D. Neste trabalho, consideramos uma generalização dessas construções para códigos definidos sobre anéis quocientes do anel de inteiros de corpos de números por ideais.

Agradecimentos: Este trabalho foi parcialmente financiado pelo CNPq (Processo 405842/2023-6) e pela FAPESP (Processo 2024/00923-6).

Recently, some constructions of infinite families of self-dual and self-orthogonal cyclic codes were proposed, which have good minimum distances. Quasi-cyclic codes are extensions of the cyclic code concept, and they form a well-known family of linear codes which are asymptotically good. They have also recently been employed in constructions of quantum error-correcting codes.

In this talk, we propose a construction of infinite families of quasi-cyclic codes over F_q which are self-orthogonal, dual-containing and self-dual with respect to the Euclidean inner product. In particular, their dimension and a lower bound for their minimum distance are computed using the constituent code approach defined over field extensions of F_q. We also show that the lower bound for the minimum distance satisfies a square-root-like lower bound.

Joint work with A. Alvarez and C. L. Williams — Embry-Riddle Aeronautical University, US.

References:

1. C. Guneri and F. Özbudak, “A Bound on the Minimum Distance of Quasi-Cyclic Codes”, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 26(4), 1781–1796, 2012.
2. E. J. Weldon Jr., “Long Quasi-Cyclic Codes are Good”, IEEE Transactions on Information Theory, IT-13:130, 1970.
3. J. Zhang, X. Kai and P. Li, “Self-orthogonal Cyclic Codes with Good Parameters”, Finite Fields and Their Applications, 101(102534), 2025.
4. H. Chen and C. Ding, “Self-Dual Cyclic Codes With Square-Root-Like Lower Bounds on Their Minimum Distances”, IEEE Transactions on Information Theory, 71(4), 2025.

Será apresentada uma construção geométrica de modulações em quatro dimensões (4D) aplicadas a sistemas de comunicações ópticas coerentes, baseada nos parâmetros de Stokes, em códigos esféricos ótimos, na fibração de Hopf e em sua representação via álgebra dos quatérnios. Além disso, serão discutidas diferentes estratégias de inteligência artificial para a recuperação de sinais degradados por ruído AWGN, incluindo métodos supervisionados e não supervisionados, bem como redes neurais artificiais. Serão apresentados e comparados os resultados dessas abordagens quanto à capacidade de recuperar os sinais transmitidos em sistemas de modulação 4D.

Neste seminário, apresentaremos a construção de reticulados a partir de códigos lineares por meio da Construção A. Consideramos inicialmente códigos de paridade simples SPC(n) e construímos códigos produto da forma C = C₁ ⊗ C₂, com particular interesse em construções que produzem códigos LDPC.

A partir de um código linear C ⊆ F_qⁿ, associamos o reticulado Λ_A(C) = {x ∈ Zⁿ : x mod q ∈ C} e analisamos como a estrutura da matriz geradora do código se traduz em uma base para Λ_A(C). Em particular, discutimos a obtenção de uma forma sistemática e o uso da Forma Normal de Hermite, explorando propriedades geométricas além da distância mínima e do volume fundamental.

Por fim, discutimos possíveis aplicações dessas construções em comunicação, buscando relacionar a estrutura dos códigos produto e LDPC às propriedades geométricas dos reticulados obtidos pela Construção A.

This talk explores how digital tools and artificial intelligence can support mathematical work, from reducing everyday friction to expanding the possibilities for discovery. Recent developments in AI-assisted problem solving provide a starting point for discussing current capabilities, limitations, and standards of evidence.

The practical focus is on literature review, writing, LaTeX, programming, and research organization, with workflows that preserve mathematical intent and make results easier to check. Central themes include treating prompting as precise specification, using AI to challenge arguments, matching verification effort to the consequences of error, and documenting the provenance of AI-assisted results.

The talk also emphasizes the foundations of an effective digital workflow: version control, reproducible environments, organized files, and reference management. The aim is to help mathematicians adopt these tools critically and productively, expanding the ideas they can explore while preserving the human judgment that guides research.